3439数学解题思路初中例8题→几何计算解三角形的方程化模型
如图所示，在长方ABCD中，AB=4，BC=6，点E是AD的中点，将△ABE沿BE翻折后得到△GBE，延长BG交CD于点F，求GF的长。
请读者先自行解题，然后比对后面的示例解法与3439思路分析，以清理思路问题。
示例解法，如图：
已知E为AD中点，有EG=AE=ED=3，在直角三角形GEF与DEF中，EF为共同斜边，直角边EG=ED，故△GEF≌△DEF，于是有GF=DF，设GF=DF=x，在直角△BCF中，BC=6,BF=4+x，CF=4-x，于是有(4+x)2=62+(4-x)2，解得x=36/16=9/4。
3439思路分析：
几何计算涉及三个层次的代数计算思维，最基本的是算术思维，一种线条化的处理方式，从已知出发，一步步计算出未知对象来。当算术思维不能解决问题时，则求之于闭环关系的方程化思维乃至多环关系的代数转换思维。常用的解三角形的方程化模型，是一边已知，另两边的表达式关联同一未知数，从而通过三角形三边关系形成一个闭环，列式得方程。
本题求GF的长度，在连EF之后，直接与GF相关的三角形有△GEF和△BCF。在△GEF中，简推简算得EG=3，GF即为所求，设为x，但问题是EF的表达式无法关联GF【EF=√(3^2+x^2)这一勾股算式不能做数，因为我们正是用勾股关系列方程】。再看△BCF，已知BC=6，GF现在可以表达为4+x，就看CF如何表达。CF=DC-DF=4-DF，于是需要看DF与所求对象GF之间有什么关系。这样带着目的去看两者关系，不难发现△GEF≌△DEF，DF=GF，于是FC可以表达为4+x。到此一步，在△GEF中，一边已知，另两边的表达示同时关联GF=x，可以列式解方程，于是求解出路得以找到。