一.曳物线和伪球面
曳物线绕轴旋转，可得伪球面
二.伪球面的共形地图
三. 贝尔特拉米-庞加莱半平面
现有一个类圆柱形、有边缘的伪球面共形地图：
sinθi/vi=常数K，i=1，2，3，…
广义斯涅尔定律是
关键在于地图是共形的，所以速度减慢只取决于质点所在的位置，而与质点的运动方向无关。
四. 平行角
在双曲平面上，有且只有两条直线在双曲平面内没有与L相交，而是在天际线上与L相交，它们恰好是所有与L相交的直线和所有超平行线的分界线。这两条线称为L的渐近线。
M与任意一条渐近线的夹角称为平行角，通常记为Π。
M是点P的两条渐近线夹角的角平分线！
五. 贝尔特拉米-庞加莱圆盘（共形圆盘模型）
常曲率K=-1