一. 球极地图共形度量公式
球极地图共形关系:
因此可知Λ:
如何求取曲率?
曲率公式:
1.笛卡尔坐标系
2.极坐标系
在两种坐标系下，均得到：
结果一致，且与位置 (x,y)或 (r,θ)无关。
这表明曲面是常曲率曲面（高斯曲率恒为 1/R^2)，与二维球面 S^2（半径 R) 的几何性质一致。
几何解释
公式背景：该曲率公式来源于共形度量
ds^2=Λ^2(dx^2+dy^2)，其中 Λ 的选取使曲面与球面局部共形等价。
验证：当 R=1时，K=1，符合单位球面的曲率性质。
普适性：无论坐标系如何变换，曲率的几何本质不变，推导结果验证了公式的协变性。
二.球极平面投影公式
考虑R=1的标准情形!
1.直角坐标
令点z的直角坐标为z=x+iy，球面Σ上点的直角坐标为(X,Y,Z)。我们选择X轴和Y轴分别与平面C的x轴和y轴重合，Z轴正半轴经过北极N。Σ的方程为X^2+Y^2+Z^2=1，北极N的坐标为(0,0,1)，南极S的坐标为(0,0,-1)，以及1(1,0,0);i(0,1,0)。
2.极坐标
球面极坐标(φ，θ),会得到一个特别整齐的球极平面投影公式。
θ表示绕Z轴旋转的角度，θ=0定义为过X轴正半轴的纵向半平面。
对于平面C上的点z，θ就是正实轴到z的通常角度.
φ定义球面Σ上北极N到点z~的圆心角.则赤道表示为φ=π/2
表示对径点的复数之间的关系: